1.3.4 Derivadas de Funciones Trascendentes.
Tabla de derivadas
El concepto de derivada es muy facil de comprender. Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.
La definición de la derivada de la función y=f(x), es:
Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.El concepto de derivada es muy facil de comprender. Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.
Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.v
miércoles, 28 de mayo de 2008
funciones algebraicas
Funciones algebraicas:
Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k.
En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.
Función polinomial:
El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.
Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).
Función lineal:
La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales.
La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sóla línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto con el ejey, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x.
Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k.
En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.
Función polinomial:
El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.
Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).
Función lineal:
La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales.
La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sóla línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto con el ejey, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x.
DERIVADAS TRIGONOMETRICAS
LAS FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS O TRIGONOMETRICAS SON AQUELLAS CUYOS VALORES DEPENDEN DE UN ANGULO Y SON: SENO,COSENO,TANGENTE,CONTANGENTE,SECANTE Y COSECANTE DE UN ANGULO.
DERIVADAS IMPLICITAS
Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
segundo,
ahora el cociente,
acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación implícita.
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
segundo,
ahora el cociente,
acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación implícita.
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